Question

东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为，且其日销售量y（kg）与时间t（天）的关系如表：

（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？

（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？

（3）在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．

Answer

(1) 60 kg;(2) 第10天利润最大，最大利润为1250元;(3) 7≤n＜9.

【解析】

（1）设y=kt+b，利用待定系数法即可解决问题．
（2）日利润=日销售量×每公斤利润，据此分别表示前24天和后24天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．
（3）列式表示前24天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求n的取值范围．

(1)设y=kt+b，把t=1，y=118；t=3，y=114代入得到：

解得，

∴y=120-2t，

当t=30时，y=120-60=60.

即在第30天的日销售量为60千克.

(2)设日销售利润为w元，则w=(p-20)y.

当1≤t≤24时，w=(120-2t)=-t2+10t+1 200=-(t-10)2+1 250.

∴当t=10时，w最大=1 250.

当25≤t≤48时，w=(120-2t)=t2-116t+3 360=(t-58)2-4，

由二次函数的图象及性质知当t=25时，w最大=1 085.

∵1 250>1 085，

∴在第10天的销售利润最大，最大日销售利润为1 250元.

(3)设每天扣除捐赠后的日销售利润为w1元，

依题意得w1=(120-2t).

=-t2+2(n+5)t+1 200-120n(1≤t≤24)，

其图象的对称轴为直线t=2n+10，

要使w1随t的增大而增大，

由二次函数的图象及性质知2n+10≥24，解得n≥7.

又∵n<9，∴7≤n<9.