Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点.

 ⑴求证：△ABM≌△DCM;

 ⑵四边形MENF是什么图形？请证明你的结论；

 ⑶若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边BC有何数量关系？并请说明理由.

Answer

(1)见解析；（2）四边形MENF是菱形，理由见解析；（3）梯形的高等于底边BC的一半，理由见解析

【解析】

（1）已知四边形ABCD为等腰梯形，M为AD的中点，推出AB=DC，∠A=∠D，AM=DM故可证明三角形全等；
（2）由（1）证明三角形全等得出MB=MC，根据三角形中位线定理，推出四边形MENF是菱形；
（3）由四边形MENF是正方形，得出∠BMC= 90°，△BMC是等腰直角三角形，根据等腰三角形三线合一的定理和直角三角形斜边上的中线可推出MN⊥BC且MN=BC．

证明：（1）∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴∠A= ∠D， AB=DC.

∵AM=DM，

∴△ABM≌△DCM.；

（2）四边形MENF是菱形，理由如下：

∵ △ABM≌△DCM，

∴MB=MC.

∵M、N 、 E、F分别为AD、BC 、 BM、CM的中点，

∴NE=MC=MF， NF=MB=ME，

则NE=MF=NF=ME ， 即四边形MENF是菱形；

（3）梯形的高等于底边BC的一半. 连接MN，

∵四边形MENF是正方形，

∴∠BMC= 90°.

∵BM=CM， ∴△BMC是等腰直角三角形

又∵N点是BC的中点

∴MN⊥BC且MN=BC