Question

如图，已知抛物线与轴、轴分别相交于点A（－1，0）和B（0，3），其顶点为D．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）若抛物线与轴的另一个交点为E，求△ODE的面积；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点P使得△PAB的周长最短．若存在请求出点P的坐标，若不存在说明理由．

Answer

（1）y=﹣x2+2x+3；（2）S△ODE=6；（3）点P坐标（1，2）.

【解析】

（1）将A（-1，0）、B（0，3）分别代入y=-x2+bx+c，解方程组求得b、c的值，即可求得抛物线的解析式；（2）先求得点D、点E的坐标，再根据三角形的面积公式即可求解；（3）连接BE交直线x=1于点P，此时PA+PB的值最小，由此求得点P的坐标即可.

（1）【解析】
根据题意得，解得 ，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3

（2）【解析】
当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则E（3，0）；

∵抛物线y=﹣（x﹣1）2 + 4的顶点坐标D（1，4），

∴S△ODE=×3×4=6；

（3）连接BE交直线x=1于点P，如图，

由对称性知PA=PE，

∴PA+PB=PE+PB=BE，

此时PA+PB的值最小，

求得直线BE的解析式为 y=﹣x+3

当x=1时，y=﹣x+3=3，

∴点P坐标（1，2）.