Question

关于x的方程（k﹣1）x²+2kx+2=0．

（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．

（2）设x₁，x₂是方程（k﹣1）x²+2kx+2=0的两个根，记，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．

Answer

(1)见解析;(2) k=2

【解析】试题

（1）①当k=1时，原方程是一元一次方程，其有解；②当时，原方程是一元二次方程，列出“根的判别式的表达式”，并证明其值为非负数即可可得出原方程一定有实数根；综合①②可得结论；

（2）由原方程有两根可知：“”，根据“一元二次方程根与系数的关系”列出“两根和与两根积的表达式”代入S=2中得到关于“k”的方程，解方程求出“k”的值即可.

试题解析：

（1）①当k=1时，原方程可化为2x+2=0，解得：x=﹣1，此时该方程有实根；

②当k≠1时，方程是一元二次方程，

∵△=（2k）2﹣4（k﹣1）×2

=4k2﹣8k+8

=4（k﹣1）2+4＞0，

∴无论k为何实数，方程总有实数根；

综上所述，无论k为何实数，方程总有实数根．

（2）∵原方程有两根实数根，

∴原方程为一元二次方程， .

由根与系数关系可知， ， ，

若S=2，则，即，

将， 代入整理得： ，

解得：k=1（舍）或k=2，

∴S的值能为2，此时k=2．