Question

已知△ABC为等边三角形，E为射线BA上一点，D为直线BC上一点，ED＝EC．

（1）当点E在AB的上，点D在CB的延长线上时（如图1），求证：AE+AC＝CD；

（2）当点E在BA的延长线上，点D在BC上时（如图2），猜想AE、AC和CD的数量关系，并证明你的猜想；

（3）当点E在BA的延长线上，点D在BC的延长线上时（如图3），请直接写出AE、AC和CD的数量关系．

Answer

（1）证明见解析；（2）AC﹣AE＝CD，证明见解析；（3）AE﹣AC＝CD．

【解析】

（1）在CD上截取CF=AE，连接EF，运用“AAS”证明△EDB≌△ECF

得AE=BD，从而得证；

（2）在BC的延长线上截取CF＝AE，连接EF，同理可得AE、AC和CD的数量关系；

（3）同（2）的探究过程可得AE、AC和CD的数量关系.

（1）证明：在CD上截取CF＝AE，连接EF．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝60°，AB＝BC．

∴BF＝BE，△BEF为等边三角形．

∴∠EBD＝∠EFC＝120°．

又∵ED＝EC，

∴∠D＝∠ECF．

∴△EDB≌△ECF （AAS）

∴CF＝BD．

∴AE＝BD．

∵CD＝BC+BD，BC＝AC，

∴AE+AC＝CD；

（2）【解析】
在BC的延长线上截取CF＝AE，连接EF．

同（1）的证明过程可得AE＝BD．

∵CD＝BC﹣BD，BC＝AC，

∴AC﹣AE＝CD；

（3）【解析】
AE﹣AC＝CD．

（在BC的延长线上截取CF=AE，连接EF．证明过程类似（2））．

故答案为：（1）证明见解析；（2）AC﹣AE＝CD，证明见解析；（3）AE﹣AC＝CD．