Question

在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣，0），点B（0，1）把△ABO绕点O顺时针旋转，得△A'B'O，点A，B旋转后的对应点为A'，B'，记旋转角为α（0°＜α＜360°）．

（1）如图①，当点A′，B，B′共线时，求AA′的长．

（2）如图②，当α＝90°，求直线AB与A′B′的交点C的坐标；

（3）当点A′在直线AB上时，求BB′与OA′的交点D的坐标（直接写出结果即可）

Answer

（1）AA′=；（2）（，）；（3）（，）.

【解析】

（1）如图①，只要证明△AOA′是等边三角形即可；

（2）如图②，当α=90°，点A′在y轴上，作CH⊥OA′于H．解直角三角形求出BH，CH即可解决问题；

（3）如图③，设A′B′交x轴于点K．首先证明A′B′⊥x轴，求出OK，A′K即可解决问题；

（1）如图①，

∵A（﹣，0），B（0，1），

∴OA＝，OB＝1，

∴tan∠BAO＝，

∴∠BAO＝30°，∠ABO＝60°，

∵△A′OB′是由△AOB旋转得到，

∴∠B′＝∠ABO＝60°，OB＝OB′，OA＝OA′，

∴∠OBB′＝60°，

∴∠BOB′＝α＝∠AOA′＝60°，

∴△AOA′是等边三角形，

∴AA′＝OA＝．

（2）如图②，当α＝90°，点A′在y轴上，作CH⊥OA′于H．

∵∠A′B′O＝60°，∠CAB′＝30°，

∴∠ACB′＝90°，

∵A′B＝OA′﹣OB＝﹣1，∠BA′C＝30°，

∴BC＝A′B＝，

∵∠HBC＝60°，

∴BH＝BC＝，CH＝BH＝，

∴OH＝1+BH＝，

∴点C的坐标（，）．

（3）如图③中，设A′B′交x轴于点K．

当A′在AB上时，∵OA＝OA′，

∴∠OAA′＝∠AA′O＝30°，

∵∠OA′B′＝30°，

∴∠AA′K＝60°，

∴∠AKA′＝90°，

∵OA′＝，∠OA′K＝30°，

∴OK＝OA′＝，A′K＝OK＝，

∴A′（，）．