Question

如图，在Rt中，∠ 90°，，平分．

（1）尺规作图：作线段的垂直平分线;（要求：保留作图痕迹，不写作法）

（2）记直线与，的交点分别是点，．当时，求的长．

Answer

（1）见解析（2）4

【解析】

（1）根据线段垂直平分线的作法作图即可；

（2）连接EC．在Rt△ABC中，由30°角所对直角边等于斜边的一半，得到AB=8．再由垂直平分线的性质得到AE=4，即可证明△AEC是等边三角形，从而得到CE的长，再证明∠EFC=∠ECF，根据等角对等边即可得出结论．

（1）如图所示，直线是所求作的线段AB的垂直平分线．

（2）连接EC．

∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4，

∴AC=AB，∠A=60°，

∴AB=8．

∵EF是AB的垂直平分线，

∴AE=AB=4，∠AEF=90°，

∴AE=AC，

∴△AEC是等边三形，

∴∠AEC=∠ACE=60°，EC=AC=4，

∴∠FEC=∠AEF+∠AEC=150°．

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACF=∠ACB=45°，

∴∠ECF=∠ECA-∠FCA=15°，

∴∠EFC=180°-∠FEC-∠ECF=15°=∠ECF，

∴EF=EC=4．