Question

已知，，是边上一点，延长到点，使得，连接，过点作的垂线，交的垂直平分线于点，连接．

（1）如图1，当点与点重合时，证明：；

（2）如图2，当点不与，两点重合时，（1）中的结论是否还成立？并说明理由．

Answer

（1）见解析（2）成立，理由见解析

【解析】

（1）延长FD至点G，使得DG=DF，连接BG，AG．

先证明△ADG≌△EDF，得到AG=EF．再证明△ABG≌△DBF，得到∠ABG=∠DBF，即有∠ABG=∠DBG=∠ABC=30°，进而得到∠DBF=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到结论．

（2）成立．延长FD至点，使得DG=DF，连接BG，AG．

通过证明△ADG≌△EDF，得到AG=EF．由垂直平分线的性质得到FC=FE，从而有AG=CF．

即可得到△ABG≌△CBF，由全等三角形对应角相等得到∠ABG=∠CBF，即有∠ABG=∠GBD．进而得出∠DBF=∠GBD=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到结论．

延长FD至点G，使得DG=DF，连接BG，AG．

∵DF⊥BC于点 ，∴∠BDF=90°，∴BG=BF，∴∠DBF=∠DBG．

又∵AD=ED，∠ADG=∠EDF，DG=DF，∴△ADG≌△EDF（SAS），∴AG=EF．

∵点在CE的垂直平分线上，点与点重合，∴DF=EF，∴DF=AG．

∵AB=BC，∴△ABG≌△DBF（SSS），∴∠ABG=∠DBF，∴∠ABG=∠DBG=∠ABC=30°，∴∠DBF=30°，∴BG=2DG，∴BF=2DF．

（2）成立．理由如下：

延长FD至点，使得DG=DF，连接BG，AG．

∵DF⊥BC于点，∴∠BDF=90°，∴BG=BF，∴∠DBF=∠DBG．

又∵AD=ED，∠ADG=∠EDF，∴△ADG≌△EDF（SAS），∴AG=EF．

∵点在CE的垂直平分线上，∴FC=FE，∴AG=CF．

又∵AB=BC，∴△ABG≌△CBF（SSS），∴∠ABG=∠CBF，∴∠ABG=∠GBD．

又∵∠ABC=60°，∴∠GBD=30°，∴∠DBF=∠GBD=30°，∴BF=2DF．