Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC的垂直平分线EF交AC于点D，交AB于点F，且CE=BF.

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）当∠BAC的度数为多少时，四边形AECF是正方形.

Answer

(1)证明见详解；（2）∠BAC=45.

【解析】

(1) 根据中垂线的性质:中垂线上的点到线段两个端点的距离相等, 有BE=EC, BF=FC, 根据四边相等的四边形是菱形即可判断;

(2)由菱形的性质知,对角线平分一组对角,即当∠BAC=45时,∠EAF=90,则菱形AECF为正方形.

证明: (1)

AC的垂直平分线EF交AC于点D

CD=AD,∠ADF=90，EC=AE,CF=AF,

又∠ACB=90°，EF∥BC,

△ADF∽△ACB,

AF:AB=AD:AC, CD=AD,D为AC的中点，

AF:AB=AD:AC=1：2，

F为AB中点,

BF=AF,在Rt△ABC中，∠ACB=90°, CF=AF,

又CE=BF, CF=AF, EC=AE,CF=AF

CE= CF= AF= AE

四边形BECF是菱形.

（2）当∠BAC=45时, 四边形AECF是正方形.

证明:∠BAC=45,四边形AECF是菱形,

∠EAC=∠BAC=45,

∠EAF =∠EAC+∠BAC =90,

菱形AECF是正方形.