Question

如图1，矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．

（1）求证：△OCP∽△PDA；

（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；

（3）如图2，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．探究：当点M、N在移动过程中，线段EF与线段PB有何数量关系？并说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）10；（3）PB=2EF．

【解析】

（1）根据折叠的性质可知得到∠APO=∠B=90°，根据相似三角形的判定定理证明即可；

（2）根据勾股定理计算即可；

（3）作MH∥AB交PB于H，根据相似三角形的性质得到BF=FH，根据等腰三角形的性质得到PE=EH，得到答案．

（1）证明：由折叠的性质可知，∠APO=∠B=90°，

∴∠APD+∠CPO=90°，又∠APD+∠DAP=90°，

∴∠DAP=∠CPO，又∠D=∠C=90°，

∴△OCP∽△PDA；

（2）∵△OCP∽△PDA，面积比为1：4，

∴，

∴CP=4，

设AB=x，则AP=x，PD=x-4，

由勾股定理得，AD2+PD2=AP2，即82+（x-4）2=x2，

解得，x=10，即AB=10；

（3）PB=2EF．

作MH∥AB交PB于H，

∴∠PHM=∠PBA，

∵AP=AB，

∴∠APB=∠PBA，

∴∠APB=∠PHM，

∴MP=MH，又BN=PM，

∴MH=BN，又∵MH∥AB，

∴BF=FH，

∵MP=MH，ME⊥BP，

∴PE=EH，

∴PB=2EF．