Question

如图1，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点P是抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线BC于点D．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；

（3）如图2，当点P位于直线BC上方的抛物线上时，过点P作PE⊥BC于点E，设△PDE的面积为S，求当S取得最大值时点P的坐标，并求S的最大值．

Answer

（1）y=-x2+x+2；（2）Q点坐标为（2，0）或（2+2，0）或（2-2，0）；（3）当P为（2，3）时，S有最大值，最大值为=．

【解析】

（1）把A、B、C三点的坐标代入可求得a、b、c的值，可得出函数表达式；

（2）可先求得BC的解析式，设出Q点坐标，可表示出D点坐标和P点坐标，可表示出PD的长，由条件可得PD=OC=2，可求得P点坐标，则可得Q点的坐标；

（3）可设出P的坐标，由PQ∥OC可表示出DQ、BD，由△PED∽△BQD可表示出PE和DE，则可表示出S，再结合P在直线BC上方，可求得S的最大值，可求得P点的坐标．

（1）∵二次函数与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），

∴代入二次函数解析式可得，得 ，

∴二次函数表达式为y=-x2+x+2；

（2）设直线BC解析式为y=kx+b，

∵B（4，0），C（0，2），

∴代入可得，

解得，

∴直线BC解析式为y=-x+2，

设Q坐标为（m，0），则可知D点坐标为（m，-m+2），

又∵P点在抛物线上，

∴P点坐标为（m，-m2+m+2），

当P、D、O、C为顶点的四边形为平行四边形时，则有PD=OC=2，

即|-m2+m+2-（-m+2）|=2，即|-m2+2m|=2，

当-m2+2m=2时，解得m=2，则Q坐标为（2，0），

当-m2+2m=-2时，解得m=2±2，则Q坐标为（2+，0）或（2-，0），

综上可知Q点坐标为（2，0）或（2+2，0）或（2-2，0）；

（3）设Q点坐标为（n，0），由（2）可知D为（n，-n+2），P点坐标为（n，-n2+n+2），

∴PD=-n2+2n=n（4-n），DQ=-n+2，

又∵OB=4，

∴BQ=4-n，

在Rt△OBC中，OC=2，OB=4，由勾股定理可求得BC=2，

∵OQ∥OC，

∴，即，解得BD=，

∵PE⊥BC，PQ⊥QB，

∴∠PED=∠BQD=90°，且∠PDE=∠BDQ，

∴△PED∽△BQD，

∴，

即，

解得PE=，DE=，

∴S=PE•DE=××=（-n2+4n）2，

令t=-n2+4n=-（n-2）2+4，

∵P在直线BC上方，

∴0＜n＜4，

∴0＜t≤4，且当n=2时，t有最大值4，

此时P点坐标为（2，3），

∴当t=4时，Smax=×42=，

综上可知当P为（2，3）时，S有最大值，最大值为=．