Question

如图，以长方形OBCD的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，B点坐标为（0，a），C点坐标为（c，b），且a、b、C满足+|2b+12|+（c﹣4）²＝0．

（1）求B、C两点的坐标；

（2）动点P从点O出发，沿O→B→C的路线以每秒2个单位长度的速度匀速运动，设点P的运动时间为t秒，DC上有一点M（4，﹣3），用含t的式子表示三角形OPM的面积；

（3）当t为何值时，三角形OPM的面积是长方形OBCD面积的？直接写出此时点P的坐标．

Answer

（1）B点坐标为（0，﹣6），C点坐标为（4，﹣6）（2）S△OPM＝4t或S△OPM＝﹣3t+21（3）当t为2秒或秒时，△OPM的面积是长方形OBCD面积的．此时点P的坐标是（0，﹣4）或（，﹣6）

【解析】

（1）根据绝对值、平方和算术平方根的非负性，求得a，b，c的值，即可得到B、C两点的坐标；

（2）分两种情况：①P在OB上时，直接根据三角形面积公式可得结论；②P在BC上时，根据面积差可得结论；

（3）根据已知条件先计算三角形OPM的面积为8，根据（2）中的结论分别代入可得对应t的值，并计算此时点P的坐标．

（1）∵|2b+12|+（c﹣4）2=0，∴a+6=0，2b+12=0，c﹣4=0，∴a=﹣6，b=﹣6，c=4，∴B点坐标为（0，﹣6），C点坐标为（4，﹣6）．

（2）①当点P在OB上时，如图1，OP=2t，S△OPM2t×4=4t；

②当点P在BC上时，如图2，由题意得：BP=2t﹣6，CP=BC﹣BP=4﹣（2t﹣6）=10﹣2t，DM=CM=3，S△OPM=S长方形OBCD﹣S△0BP﹣S△PCM﹣S△ODM=6×46×（2t﹣6）3×（10﹣2t）4×3=﹣3t+21．

（3）由题意得：S△OPMS长方形OBCD（4×6）=8，分两种情况讨论：

①当4t=8时，t=2，此时P（0，﹣4）；

②当﹣3t+21=8时，t，PB=2t﹣6，此时P（，﹣6）．

综上所述：当t为2秒或秒时，△OPM的面积是长方形OBCD面积的．此时点P的坐标是（0，﹣4）或（，﹣6）．