Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，弦PB与CD交于点F，且FC＝FB．

（1）求证：PD∥CB；

（2）若AB＝26，EB＝8，求CD的长度．

Answer

（1）证明见解析；（2）CD＝24．

【解析】

（1）欲证明PD∥BC，只要证明∠P＝∠CBF即可；

（2）由△ACE∽△CBE，可得，求出EC，再根据垂径定理即可解决问题.

（1）证明：∵FC＝FB，

∴∠C＝∠CBF，

∵∠P＝∠C，

∴∠P＝∠CBF，

∴PD∥BC．

（2）连接AC，

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∵AB⊥CD，

∴CE＝ED，∠AEC＝∠CEB＝90°，

∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，

∴∠CAE＝∠BCE，

∴△ACE∽△CBE，

∴，

∴，

∴EC2＝144，

∵EC＞0，

∴EC＝12，

∴CD＝2EC＝24．