Question

如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③CP=CQ；④BO=OE；⑤∠AOB=60°，恒成立的结论有

A. ①③⑤    B. ①③④⑤    C. ①②③⑤    D. ①②③④⑤

Answer

C

【解析】

①根据全等三角形的判定方法，证出△ACD≌△BCE，即可得出AD=BE．
③先证明△ACP≌△BCQ，即可判断出CP=CQ，③正确；
②根据∠PCQ=60°，可得△PCQ为等边三角形，证出∠PQC=∠DCE=60°，得出PQ∥AE，②正确．
④没有条件证出BO=OE，得出④错误；
⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，⑤正确；即可得出结论．

∵△ABC和△CDE都是等边三角形，

∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60∘，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中,

∴△ACD≌△BCE(SAS)，

∴AD=BE，结论①正确,

∵△ACD≌△BCE，

∴∠CAD=∠CBE，

又∵

∴

∴

在△ACP和△BCQ中,

∴△ACP≌△BCQ(AAS)，

∴CP=CQ，结论③正确；

又∵

∴△PCQ为等边三角形，

∴

∴PQ∥AE，结论②正确，

∵△ACD≌△BCE，

∴∠ADC=∠AEO，

∴

∴结论⑤正确.没有条件证出BO=OE，④错误；

综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤.

故选：C.