Question

如图，直线的函数关系式为，且与x轴交于点D，直线经过定点A（4，0），B（-1，5），直线与相交于点C，

（1）求直线的解析式；

（2）求△ADC的面积；

（3）在直线上存在一点F（不与C重合），使得△ADF和△ADC的面积相等，请求出F点的坐标；

（4）在x轴上是否存在一点E，使得△BCE的周长最短，若存在请求出E点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=﹣x+4；（2）6；（3）（6，﹣2）；（4）见解析

【解析】

试题（1）利用待定系数法即可直接求得l2的函数解析式；

（2）首先解两条之间的解析式组成的方程组求得C的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解；

（3）△ADF和△ADC的面积相等，则F的纵坐标与C的总坐标一定互为相反数，代入l2的解析式即可求解；

（4）求得C关于x轴的对称点，然后求得经过这个点和B点的直线解析式，直线与x轴的交点就是E．

【解析】
（1）设l2的解析式是y=kx+b，

根据题意得：，解得：，

则函数的解析式是：y=﹣x+4；

（2）在中令y=0，解得：x=﹣2，则D的坐标是（﹣2，0）．

解方程组，

解得：，

则C的坐标是（2，2）．

则S△ADC=×6×2=6；

（3）把y=﹣2代入y=﹣x+4，得﹣2=﹣x+4，

解得：x=6，

则F的坐标是（6，﹣2）；

（4）C（2，2）关于x轴的对称点是（2，﹣2），

则设经过（2，﹣2）和B的函数解析式是y=mx+n，

则，

解得：，

则直线的解析式是y=3x+8．

令y=0，则3x+8=0，解得：x=﹣．

则E的坐标是（﹣，0）．