Question

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧做正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）．

（1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为　   　（用含t的代数式表示）．

（2）当点E落在边BC上时，求t的值．

（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．

（4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值．

Answer

（1）2t；（2）；（3）；（4）t＝或

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：∠A＝∠ADP＝45°，即AP＝DP＝2t；

（2）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：AB＝AP+PF+FB，即2t+2t+2t＝8，可求t的值；

（3）分两种情况讨论，根据重叠部分的图形的形状，可求S与t之间的函数关系式；

（4）分点E在△ABC内部和△ABC外部两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求t的值．

（1）∵∠C＝90°，AC＝BC，

∴∠A＝45°＝∠B，且DP⊥AB，

∴∠A＝∠ADP＝45°，

∴AP＝DP＝2t，

故答案为2t，

（2）如图，

∵四边形DEFP是正方形，

∴DP＝DE＝EF＝PF，∠DPF＝∠EFP＝90°，

∵∠A＝∠B＝45°，

∴∠A＝∠ADP＝∠B＝∠BEF＝45°，

∴AP＝DP＝2t＝EF＝FB＝PF，

∵AB＝AP+PF+FB，

∴2t+2t+2t＝8，

∴t＝；

（3）当0＜t≤时，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为正方形PDEF的面积，

即S＝DP2＝4t2，

当＜t≤2时，如图，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为五边形PDGHF的面积，

∵AP＝DP＝PF＝2t，

∴BF＝8﹣AP﹣PF＝8﹣4t，

∵BF＝HF＝8﹣4t，

∴EH＝EF﹣HF＝2t﹣（8﹣4t）＝6t﹣8，

∴S＝S正方形DPFE﹣S△GHE，

∴S＝4t2﹣×（6t﹣8）2＝﹣14t2+48t﹣32，

综上所述，S与t之间的函数关系式为.

（4）如图，当点E在△ABC内部，设DF与PE交于点O，

∵四边形PDEF是正方形，

∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°，

∴∠DFP＝∠ABC＝45°，

∴DF∥BC，

∴，

∵DF＝4EG，

∴设EG＝a，则DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO，

∴PG＝5a，

∴，

∴，

∴t＝，

如图，当点E在△ABC外部，设DF与PE交于点O，

∵四边形PDEF是正方形，

∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°，

∴∠DFP＝∠ABC＝45°，

∴DF∥BC，

∴，

∵DF＝4EG，

∴设EG＝a，则DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO，

∴PG＝3a，

∵，

∴，

∴t＝，

综上所述：t＝或.