Question

如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（b，-2a）．且+|b-l|=0．CD∥AB，AD∥BC

（1）直接写出B、C、D各点的坐标：B       、C        、D         ；

（2）如图1，P（3，10），点E，M在四边形ABCD的边上，且E在第二象限．若△PEM是以PE为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点E的坐标，并对其中一种情况计算说明；

（3）如图2，F为y轴正半轴上一动点，过F的直线j∥x轴，BH平分∠FBA交直线j于点H．G为BF上的点，且∠HGF=∠FAB，F在运动中FG的长度是否发生变化？若变化，求出变化范围；若不变，求出定值．

Answer

（1）（1，0），（1，8），（-4，8）；（2）点E坐标（-1，8）或（-4，7）；（3）不发生变化.

【解析】

（1）根据题意可求a=-4，b=1，可得A，B，C三点坐标，由题意可证四边形ABCD是矩形，可求CD=AB=5，AD=BC=8，即可求点D坐标；

（2）分点E在CD上，点EAD上讨论，通过等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质，可求点E坐标；

（3）点H作HR⊥BF于点R，通过证△HFR≌△FBO和△HRG≌△FOA，可得RF=1，RG=4，即可求FG=3，则点F在运动中FG的长度不发生变化．

（1）∵+|b-l|=0，

∴b=1，a=-4，

∴A（-4，0），B（1，0），C（1，8），

∴BC⊥AB，AB=5，BC=8，

∵CD∥AB，AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，且BC⊥AB

∴四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=8，CD=AB=5

∴D（-4，8）

（2）如图，若点E在CD上时，过点E作EN∥y轴，过点M作MN⊥EN于N，过点P作PH⊥EN于点H，

∵∠PEH+∠HPE=90°，∠PEH+∠MEN=90°，

∴∠MEN=∠HPE，且PE=EM，∠PHE=∠MNE=90°，

∴△PHE≌△ENM（AAS）

∴PH=EN，HE=MN=2，

∵CE⊥EN，MN⊥EN，∠DCB=90°，

∴四边形MNEC是矩形，

∴CE=MN=2，且点C（1，8）

∴点E坐标（-1，8）

如图，若点E在AD上，过点P作PH⊥AD，交AD的延长线于H，

∵∠PEH+∠AEM=90°，∠PEH+∠HPE=90°

∴∠HPE=∠AEM，且PE=EM，∠PHE=∠EAM=90°

∴△PHE≌△EAM（AAS）

∴AE=PH=7

∴点E坐标（-4，7）

（3）不发生变化，

如图，过点H作HR⊥BF于点R，

∵BH平分∠ABF，

∴∠FBH=∠ABH，

∵FH∥AB，

∴∠FHB=∠ABH，∠HFR=∠ABF，

∴∠FHB=∠FBH，

∴HF=FB，且∠HFR=∠ABF，∠FOB=∠HRF，

∴△HFR≌△FBO（AAS）

∴RF=OB=1，HR=FO，

∵∠HGF=∠FAB，HR=FO，∠HRG=∠AOF=90°，

∴△HRG≌△FOA（AAS），

∴RG=AO=4，

∴FG=RG-RF=4-1=3，

∴点F在运动中FG的长度不发生变化．