Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E．

（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：ED=AE+BD；

（2）如图2，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB相交时，请你探究ED、AE、BD三者之间的数量关系．

Answer

（1）证明见解析；

（2）ED=BD﹣AE，理由见解析.

【解析】（1）根据垂直定义求出∠AEC=∠BDC=90°，求出∠EAC+∠ACE=90°，

∠EAC+∠ACE=90°，得∠EAC=∠BCD，根据AAS推出△AEC≌△CDB，再根据全等三角形的性质推出CE=BD和AE=CD即可；（2）同（1）可得证．

【解析】
（1）∵直线l过点C，BD⊥l，AE⊥l，

∴∠AEC=∠BDC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，

∴∠EAC=∠BCD，

在△AEC和△CDB中，

∠EAC=∠BCD，∠AEC=∠BDC，AC=BC，

∴△AEC≌△CDB（AAS），

∴CE=BD，AE=CD，

∵ED=CE+CD，

∴ED=AE+BD；

（2）ED=BD﹣AE，

理由是：∵直线l过点C，BD⊥l，AE⊥l，

∴∠AEC=∠BDC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，

∴∠EAC=∠BCD，

在△AEC和△CDB中，

∠EAC=∠BCD，∠AEC=∠BDC，AC=BC，

∴△AEC≌△CDB（AAS），

∴CE=BD，AE=CD，

∵ED=CE﹣CD，

∴ED=BD﹣AE．