Question

已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．

（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t＝　   　（s）时，△PBC是直角三角形；

（2）如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形？

（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？

（4）如图4，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D，连接PC．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．

Answer

（1）；（2）t＝1或2（s）；（3）t＝1（s）；（4）面积相等，理由见解析

【解析】

（1）当△PBC是直角三角形时，∠B＝60°，所以BP＝1.5cm，即可算出t的值；

（2）因为∠B＝60°，可选取∠BPQ＝90°或∠BQP＝90°，然后根据勾股定理计算出BP长，即可算出t的大小；

（3）因为∠DCQ＝120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD＝CQ，然后可证明△APD是直角三角形，即可根据题意求出t的值；

（4）面积相等．可通过同底等高验证．

【解析】
（1）当△PBC是直角三角形时，∠B＝60°，

∠BPC＝90°，所以BP＝1.5cm，

所以t＝.

（2）当∠BPQ＝90°时，BP＝0.5BQ，

3﹣t＝0.5t，所以t＝2；

当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，

3﹣t＝2t，所以t＝1；

所以t＝1或2（s）;

（3）因为∠DCQ＝120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD＝CQ，

所以∠PDA＝∠CDQ＝∠CQD＝30°，

又因为∠A＝60°，

所以AD＝2AP，2t+t＝3，

解得t＝1（s）；

（4）相等，如图所示：

作PE⊥AD于E，QG⊥AD延长线于G，则PE∥QG，则易知∠G＝∠AEP，∠A＝∠ACB＝∠QCG＝60°，

在△EAP和△GCQ中，

因为，

所以△EAP≌△GCQ（AAS），

所以PE＝QG，所以，△PCD和△QCD同底等高，所以面积相等．