Question

“三等分一个角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的，在探索中，有人曾利用过如下的图形：其中，ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，并且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠GFA，你能证明∠ECB＝∠ACB吗？

Answer

证明见解析

【解析】

由矩形的对边平行可得∠F＝∠ECB，由外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AGC＝2∠F，那么∠ACF＝2∠ECB，所以∠ECB＝∠ACB．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠F＝∠ECB，

∴∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F

＝2∠ECB，

∴∠ACB＝∠ACG+∠ECB＝3∠ECB，

∴∠ECB＝∠ACB．