Question

如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（2，8），点N的坐标为（2，6），将线段MN向右平移4个单位长度得到线段PQ（点P和点Q分别是点M和点N的对应点），连接MP、NQ，点K是线段MP的中点．

（1）求点K的坐标；

（2）若长方形PMNQ以每秒1个单位长度的速度向正下方运动，（点A、B、C、D、E分别是点M、N、Q、P、K的对应点），当BC与x轴重合时停止运动，连接OA、OE，设运动时间为t秒，请用含t的式子表示三角形OAE的面积S（不要求写出t的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，连接OB、OD，问是否存在某一时刻t，使三角形OBD的面积等于三角形OAE的面积？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（4，8）（2）S△OAE＝8﹣t（3）2秒或6秒

【解析】

（1）根据M和N的坐标和平移的性质可知：MN∥y轴∥PQ，根据K是PM的中点可得K的坐标；
（2）根据三角形面积公式可得三角形OAE的面积S；
（3）存在两种情况：
①如图2，当点B在OD上方时
②如图3，当点B在OD上方时，
过点B作BG⊥x轴于G，过D作DH⊥x轴于H，分别根据三角形OBD的面积等于三角形OAE的面积列方程可得结论．

（1）由题意得：PM＝4，

∵K是PM的中点，

∴MK＝2，

∵点M的坐标为（2，8），点N的坐标为（2，6），

∴MN∥y轴，

∴K（4，8）；

（2）如图1所示，延长DA交y轴于F，

则OF⊥AE，F（0，8﹣t），

∴OF＝8﹣t，

∴S△OAE＝OF•AE＝（8﹣t）×2＝8﹣t；

（3）存在，有两种情况：，

①如图2，当点B在OD上方时，

过点B作BG⊥x轴于G，过D作DH⊥x轴于H，则B（2，6﹣t），D（6，0），

∴OG＝2，GH＝4，BG＝6﹣t，DH＝8﹣t，OH＝6，

S△OBD＝S△OBG+S四边形DBGH+S△ODH，

＝OG•BG+（BG+DH）•GH﹣OH•DH，

＝×2（6-t）+×4（6﹣t+8﹣t）﹣×6（8﹣t），

＝10﹣2t，

∵S△OBD＝S△OAE，

∴10﹣2t＝8﹣t，

t＝2；

②如图3，当点B在OD上方时，

过点B作BG⊥x轴于G，过D作DH⊥x轴于H，

则B（2，6﹣t），D（6，8﹣t），

∴OG＝2，GH＝4，BG＝6﹣t，DH＝8﹣t，OH＝6，

S△OBD＝S△ODH﹣S四边形DBGH﹣S△OBG，

＝OH•DH﹣（BG+DH）•GH﹣OG•BG，

＝×2（8-t）﹣×4（6﹣t+8﹣t）﹣×2（6﹣t），

＝2t﹣10，

∵S△OBD＝S△OAE，

∴2t﹣10＝8﹣t，

t＝6；

综上，t的值是2秒或6秒．