Question

如图，等边△ABC中，D是AB边上的一动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．

(1)求证：△ACE≌△BCD；

(2)判断AE与BC的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）根据等边三角形的性质可得∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，再由∠BCD=∠ACB－∠ACD，∠ACE=∠DCE－∠ACD可得∠BCD=∠ACE，即可证得结论；

（2）根据全等三角形的性质可得∠ABC=∠CAE=60°，再结合∠ACB=60°可得∠CAE=∠ACB，从而证得结论．

【解析】

试题（1）∵△ABC与△EDC是等边三角形，

∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC

又∵∠BCD=∠ACB－∠ACD，∠ACE=∠DCE－∠ACD，

∴∠BCD=∠ACE．

∴△ACE≌△BCD（SAS）；

（2）∵ACE≌△BCD，

∴∠ABC=∠CAE=60°

又∵∠ACB=60°，

∴∠CAE=∠ACB

∴ AE∥BC．