Question

已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，D、E分别在BC、AC边上．

(1)如图1，F是线段AD上的一点，连接CF，若AF=CF；

①求证：点F是AD的中点；

②判断BE与CF的数量关系和位置关系，并说明理由；

(2)如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0＜α＜90°），点F是AD的中点，其他条件不变，判断BE与CF的关系是否不变？若不变，请说明理由；若要变，请求出相应的正确结论．

Answer

（1）①证明见解析；②BE=2CF，BE⊥CF；（2）仍然有BE=2CF，BE⊥CF．

【解析】

（1）①如图1，由AF=CF得到∠1=∠2，则利用等角的余角相等可得∠3=∠ADC，然后根据等腰三角形的判定定理得FD=FC，易得AF=FD；
②先利用等腰直角三角形的性质得CA=CB，CD=CE，则可证明△ADC≌△BEC得到AD=BE，∠1=∠CBE，由于AD=2CF，∠1=∠2，则BE=2CF，再证明∠CBE+∠3=90°，于是可判断CF⊥BE；
（2）延长CF到G使FG=CF，连结AG、DG，如图2，易得四边形ACDG为平行四边形，则AG=CD，AG∥CD，于是根据平行线的性质得∠GAC=180°-∠ACD，所以CD=CE=AG，再根据旋转的性质得∠BCD=α，所以∠BCE=∠DCE+∠BCD=90°+α=90°+90°-∠ACD=180°-∠ACD，得到∠GAC=∠ECB，接着可证明△AGC≌△CEB，得到CG=BE，∠2=∠1，所以BE=2CF，和前面一样可证得CF⊥BE．

（1）①证明：如图1，

∵AF=CF，

∴∠1=∠2，

∵∠1+∠ADC=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠3=∠ADC，

∴FD=FC，

∴AF=FD，

即点F是AD的中点；

②BE=2CF，BE⊥CF．理由如下：

∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，

∴CA=CB，CD=CE，

在△ADC和△BEC中

，

∴△ADC≌△BEC，

∴AD=BE，∠1=∠CBE，

而AD=2CF，∠1=∠2，

∴BE=2CF，

而∠2+∠3=90°，

∴∠CBE+∠3=90°，

∴CF⊥BE；

（2）仍然有BE=2CF，BE⊥CF．理由如下：

延长CF到G使FG=CF，连结AG、DG，如图2，

∵AF=DF，FG=FC，

∴四边形ACDG为平行四边形，

∴AG=CD，AG∥CD，

∴∠GAC+∠ACD=180°，即∠GAC=180°﹣∠ACD，

∴CD=CE=AG，

∵△DEC绕点C顺时针旋转α角（0＜α＜90°），

∴∠BCD=α，

∴∠BCE=∠DCE+∠BCD=90°+α=90°+90°﹣∠ACD=180°﹣∠ACD，

∴∠GAC=∠ECB，

在△AGC和△CEB中

，

∴△AGC≌△CEB，

∴CG=BE，∠2=∠1，

∴BE=2CF，

而∠2+∠BCF=90°，

∴∠BCF+∠1=90°，

∴CF⊥BE．

故答案为：（1）①证明见解析；②BE=2CF，BE⊥CF；（2）仍然有BE=2CF，BE⊥CF．