Question

已知关于x的一元二次方程：x²﹣（m﹣3）x﹣m=0

（1）证明原方程有两个不相等的实数根；

（2）若抛物线y=x²﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．（友情提示：AB=|x₁﹣x₂|）

Answer

（1）证明见解析；（2）存在，AB有最小值为2．

【解析】（1）根据根的判别式，可得答案；（2）根据根与系数的关系，可得A、B间的距离，根据二次函数的性质，可得答案．

本题解析：

（1）△=[﹣（m﹣3）]2﹣4（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8，

∵（m﹣1）2≥0，

∴△=（m﹣1）2+8＞0，

∴原方程有两个不等实数根；

（2）存在，

由题意知x1，x2是原方程的两根，

∴x1+x2=m﹣3，x1•x2=﹣m．

∵AB=|x1﹣x2|，

∴AB2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（m﹣3）2﹣4（﹣m）=（m﹣1）2+8，

∴当m=1时，AB2有最小值8，

∴AB有最小值，即AB==2．