Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x²平移，使平移后的抛物线经过点A（–3，0）、B（1，0）．

(1)求平移后的抛物线的表达式．

(2)设平移后的抛物线交y轴于点C，在平移后的抛物线的对称轴上有一动点P，当BP与CP之和最小时，P点坐标是多少？

(3)若y=x²与平移后的抛物线对称轴交于D点，那么，在平移后的抛物线的对称轴上，是否存在一点M，使得以M、O、D为顶点的三角形△BOD相似？若存在，求点M坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）y=x2+2x﹣3；（2）点P坐标为（﹣1，﹣2）；（3）点M坐标为（﹣1，3）或（﹣1，2）．

【解析】

（1）设平移后抛物线的表达式为y=a（x+3）（x-1）．由题意可知平后抛物线的二次项系数与原抛物线的二次项系数相同，从而可求得a的值，于是可求得平移后抛物线的表达式；

（2）先根据平移后抛物线解析式求得其对称轴，从而得出点C关于对称轴的对称点C′坐标，连接BC′，与对称轴交点即为所求点P，再求得直线BC′解析式，联立方程组求解可得；

（3）先求得点D的坐标，由点O、B、E、D的坐标可求得OB、OE、DE、BD的长，从而可得到△EDO为等腰三角直角三角形，从而可得到∠MDO=∠BOD=135°，故此当或时，以M、O、D为顶点的三角形与△BOD相似．由比例式可求得MD的长，于是可求得点M的坐标．

（1）设平移后抛物线的表达式为y=a（x+3）（x﹣1），

∵由平移的性质可知原抛物线与平移后抛物线的开口大小与方向都相同，

∴平移后抛物线的二次项系数与原抛物线的二次项系数相同，

∴平移后抛物线的二次项系数为1，即a=1，

∴平移后抛物线的表达式为y=（x+3）（x﹣1），

整理得：y=x2+2x﹣3；

（2）∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，

∴抛物线对称轴为直线x=﹣1，与y轴的交点C（0，﹣3），

则点C关于直线x=﹣1的对称点C′（﹣2，﹣3），

如图1，

连接B，C′，与直线x=﹣1的交点即为所求点P，

由B（1，0），C′（﹣2，﹣3）可得直线BC′解析式为y=x﹣1，

则，

解得，

所以点P坐标为（﹣1，﹣2）；

（3）如图2，

由得，即D（﹣1，1），

则DE=OD=1，

∴△DOE为等腰直角三角形，

∴∠DOE=∠ODE=45°，∠BOD=135°，OD=，

∵BO=1，

∴BD=，

∵∠BOD=135°，

∴点M只能在点D上方，

∵∠BOD=∠ODM=135°，

∴当或时，以M、O、D为顶点的三角形△BOD相似，

①若，则，解得DM=2，

此时点M坐标为（﹣1，3）；

②若，则，解得DM=1，

此时点M坐标为（﹣1，2）；

综上，点M坐标为（﹣1，3）或（﹣1，2）．