Question

如图①，AB是⊙O的直径，，连接AC．

（1）求证：∠CAB＝45°；

（2）如图②，直线l经过点C，在直线l上取一点D，使BD＝AB，BD与AC相交于点E，连接AD，且AD＝AE．

①求证：直线l是⊙O的切线；

②求的值．

Answer

（1）证明见解析（2）①证明见解析②

【解析】

（1）连接BC，由知∠CAB＝∠ABC，根据AB为⊙O的直径得∠ACB＝90°，据此可得答案；（2）①连接OC、作DP⊥AB，设∠ABD＝α，先根据AD＝AE、BA＝BD求得∠ABD＝∠DAE＝30°，据此知PD＝BD＝AB，结合OC＝AB知DP＝OC，据此证得四边形DPOC为矩形，继而得证；②证△ACD∽△BAE得＝＝，据此知AE＝CD，作EI⊥AB于点I，由∠CAB＝45°、∠ABD＝30°知BE＝2EI＝2×AE＝AE＝2CD，据此可得答案．

（1）如图①，连接BC，

∵，

∴∠CAB＝∠ABC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°；

（2）①如图②，连接OC、作DP⊥AB于点P，

设∠ABD＝α，

∵BA＝BD，

∴∠BAD＝∠BDA，

∵AD＝AE，

∴∠ADE＝∠AED，

∴∠AED＝∠BAD，

∴∠DAE＝∠DBA＝α，

∵∠CAB＝45°，

∴∠ADE＝∠AED＝∠CAB+∠ABD＝45°+α，

∵∠DAE+∠ADE+∠AED＝180°，

∴α+α+45°+α+45°＝180°，

解得：α＝30°，即∠ABD＝∠DAE＝30°，

在Rt△BPD中，PD＝BD＝AB，

又∵OC＝AB，

∴OC＝PD，

∵△ABC是等腰直角三角形，OA=OB，

∴CO⊥AB，

∵DP⊥AB、CO⊥AB，

∴四边形DPOC是矩形，

∴∠OCD＝90°，

∴直线l是⊙O的切线；

②由①知，∠CAD＝∠ABE＝30°，CD∥AB，

∴∠ACD＝∠EAB＝45°，

则△ACD∽△BAE，

∴＝＝，

∴AE＝CD，

如图②，作EI⊥AB于点I，

∵∠CAB＝45°、∠ABD＝30°，

∴BE＝2EI＝2×AE＝AE＝×CD＝2CD，

∴＝．