Question

已知点A、O、B在一条直线上,将射线OC绕O点顺时针方向旋转90°后,得到射线OD,在旋转过程中,射线OC始终在直线AB上方,且OE平分∠AOD.约定,无论∠AOD大小如何,OE都看作是由OA、OD两边形成的最小角的平分线.

(1)如图,当∠AOC=30°时,∠BOD=_________°；

(2)若射线OF平分∠BOC,求∠EOF的度数.

Answer

（1）60；（2）45°或135°

【解析】

（1）根据平角定义即可得出结论；

（2）分两种情况讨论：①当OC、OD都在直线AB上方时；当OC在直线AB上方，OD在直线AB下方时．

（1）∵∠AOC=30°，∠COD=90°，∴∠BOD=180°－∠AOC－∠COD=180°－30°－90°=60°．

（2）分两种情况讨论：

①当OC、OD都在直线AB上方时，如图1．设∠AOC=x，则∠BOC=180°－x．

∵∠COD=90°，∴∠AOD=90°+x，∠BOD=90°－x．

∵OE平分∠AOD，∴∠EOD=∠AOD=（90°+x）=45°+0.5x．

∵OF平分∠BOC，∴∠BOF=∠BOC=（180°－x）=90°－0.5x，∴∠FOD=∠BOF－∠BOD=（90°－0.5x）－（90°－x）=0.5x，∴∠EOF=∠EOD－∠DOF=（45°+0.5x）－0.5x=45°．

②当OC在直线AB上方，OD在直线AB下方时，如图2．

设∠AOC=x，则∠BOC=180°－x．

∵∠COD=90°，∴∠AOD=360°-90°－x=270°－x，∠BOD=180°－∠AOD=180°－（270°－x）=x－90°．

∵OE平分∠AOD，∴∠EOD=∠AOD=（270°－x）=135°－0.5x．

∵OF平分∠BOC，∴∠BOF=∠BOC=（180°－x）=90°－0.5x，∴∠FOD=∠BOF+∠BOD=（90°－0.5x）+（x－90°）=0.5x，∴∠EOF=∠EOD+∠DOF=（135°－0.5x）+0.5x=135°．

综上所述：∠EOF的度数为45°或135°．