Question

如图，在平面直角坐标系中，—抛物线y=﹣a(x+1)(x﹣3)(a＞0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.抛物线的对称轴与x轴交于点E，过点C作x轴的平行线，与抛物线交于点D，连接DE，延长DE交y轴于点F，连接AD、AF．

（1）点A的坐标为____________，点B的坐标为_________ ；

（2）判断四边形ACDE的形状，并给出证明；

（3）当a为何值时，△ADF是直角三角形?

Answer

（1）点A（﹣1，0），点B（3，0）；（2）四边形ACDE是平行四边形．证明见解析；（3）当或时，△ADF为直角三角形．

【解析】

（1）根据抛物线的解析式可知当y=0时，x=﹣1或x=3，即可得解；

（2）由（1）可得抛物线对称轴为直线x=1，根据抛物线图象性质易得AE=CD=2，又因为，所以四边形ACDE是平行四边形；

（3）过点D作DG⊥AB于点G，通过“角边角”易证△OEF ≌△DEG，OF=GD=3a，即F点坐标为（0，-3a），①若∠DAF=90°，则∠DAG+∠FAO=90°，然后证明△AOF∽△DGA，得到，然后求得符合题意的a即可；②若∠DFA=90°，则∠DFC+∠AFO=90°，易得OF垂直平分AE，AF=EF，则∠DFC=∠AFO=45°，所以OF=OA，即，a=.

解（1）根据题意可知，

∵y=﹣a(x+1)(x﹣3)，

∴当y=0时，x=﹣1或x=3，

∴点A（﹣1，0），点B（3，0）；

（2）四边形ACDE是平行四边形．

证明如下：令，得，即，

∵点A（﹣1，0），B（3，0），

∴抛物线的对称轴为直线x=1，

∴点D（2，3a），E（1，0），

∴AE=CD=2，

又，

∴四边形ACDE是平行四边形；

（3）过点D作DG⊥AB于点G，由，可知OE=GE，

又∵∠FOE=∠DGE=90°，∠OEF=∠GED，

∴△OEF ≌△DEG（ASA），

∴OF=GD=3a，

∴F点坐标为（0，-3a），

讨论：①若∠DAF=90°，则∠DAG+∠FAO=90°，

又∠FAO+∠AFO=90°，

∴∠DAG=∠AFO，

又∠AOF=∠DGA=90°，

∴△AOF∽△DGA，

∴，

即，

∴，

∵a > 0，

∴，

∵以上各步均可逆，故合题意；

②若∠DFA=90°，则∠DFC+∠AFO=90°，

又∵，

∴OF垂直平分AE，

∴AF=EF，

∴∠DFC=∠AFO=45°，

∴OF=OA，

∴，

∴，

∵以上各步均可逆，故合题意.

综上，当或时，△ADF为直角三角形．