Question

如图，在△ABC中，AB=BC，CD⊥AB于点D，CD=BD.BE平分∠ABC，点H是BC边的中点.连接DH，交BE于点G.连接CG.

（1）求证：△ADC≌△FDB；

（2）求证：

（3）判断△ECG的形状，并证明你的结论.

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）△ECG为等腰直角三角形，理由见解析.

【解析】

（1）首先根据AB=BC，BE平分∠ABC，得到BE⊥AC，CE=AE，进一步得到∠ACD=∠DBF，结合CD=BD，即可证明出△ADC≌△FDB；

（2）由△ADC≌△FDB得到AC=BF，结合CE=AE，即可证明出结论；

（3）由点H是BC边的中点，得到GH垂直平分BC，即GC=GB，由∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF，得∠ECO=45°，结合BE⊥AC，即可判断出△ECG的形状.

（1）∵AB=BC，BE平分∠ABC

∴BE⊥AC

∵CD⊥AB

∴∠ACD=∠ABE（同角的余角相等）

又∵CD=BD

∴△ADC≌△FDB

（2）∵AB=BC，BE平分∠ABC

∴AE=CE

则CE=AC

由（1）知：△ADC≌△FDB

∴AC=BF

∴CE=BF

（3）△ECG为等腰直角三角形，理由如下：

由点H是BC的中点，得GH垂直平分BC，从而有CG=BG，

则∠EGC=2∠CBG=∠ABC=45°，

又∵BE⊥AC，

故△ECG为等腰直角三角形.