Question

如图，线段AB的长为10cm，点D是AB上的一个动点，不与点A重合，以AD为边作等边△ACD，过点D作DP⊥CD，过DP上一动点G(不与点D重合)作矩形CDGH，对角线交于点O，连接OA、OB，则线段OB的最小值是________.

Answer

5

【解析】

根据矩形对角线相等且互相平分得：OC=OD，再证明△ACO≌△ADO，则∠OAB=30°；点O一定在∠CAB的平分线上运动，根据垂线段最短得：当OB⊥AO时，OB的长最小，根据直角三角形30度角所对的直角边是斜边的一半得出结论．

解，∵四边形CDGH是矩形，
∴CG=DH，OC=CG，OD=DH，
∴OC=OD，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∵OA=OA，
∴△ACO≌△ADO，
∴∠OAB=∠CAO=×60°=30°，
∴点O一定在∠CAB的平分线上运动，所以当OB⊥AO时，OB的长最小，
∵∠OAB=30°，∠AOB=90°，
∴OB=AB=×10=5，即OB的最小值为5cm，
故答案为：5．