Question

如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥BD交BA的延长线于点E.

(1)当▱ABCD是菱形时，证明：AE=AB；

(2)当▱ABCD是矩形时，设∠E=α，问：∠E与∠DOA满足什么数量关系？写出结论并说明理由.

Answer

(1)证明见解析；(2)∠E=90°﹣

【解析】

（1）由四边形ABCD是菱形可得AC⊥BD，AB=CD，根据DE⊥BD，可证四边形ACDE是平行四边形，可证得结论．（2）由题意可得∠DOA=2∠OBA，∠E=90°-∠OBA，即可求∠E与∠DOA的数量关系．

证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AB∥CD，AB=CD；

∵DE⊥BD，AC⊥BD，

∴AC∥DE，且CD∥AB，

∴四边形ACDE是平行四边形，

∴AE=CD且AB=CD，

∴AE=AB；

(2)∠E=90°﹣，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AO=BO，

∴∠OBA=∠OAB；

∵DE⊥BD，∠DOA=∠OBA+∠OAB，

∴∠E=90°﹣∠OBA，∠DOA=2∠OBA，

∴∠E=90°﹣.