Question

如图，⊙O的直径AB＝2，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C．设AD＝x，BC＝y．

(1)求证：AM∥BN；

(2)求y关于x的关系式；

(3)求四边形ABCD的面积S，并证明：S≥2．

Answer

证明：（1）∵AB是直径，AM、BN是切线，

∴，∴．

【解析】
（2）过点D作于F，则．

由（1），∴四边形为矩形.

∴，．

∵DE、DA，CE、CB都是切线，

∴根据切线长定理，得

，．

在中，，

∴，

化简，得．

（3）由（1）、（2）得，四边形的面积，

即．

∵，当且仅当时，等号成立．

∴，即．

【解析】

（1）根据切线的性质得到它们都和直径垂直就可证明；

（2）作直角梯形的另一高，构造一个直角三角形，根据切线长定理和勾股定理列方程，再表示出关于y的函数关系式；

（3）根据直角梯形的面积公式表示梯形的面积，再根据求差法比较它们的大小．

（1）证明：是直径，、是切线，

,，

.

（2）过点作于，则.

由（1），四边形为矩形.

，.

、，、都是切线，

根据切线长定理，得

，.

在中，，，，

，

化简，得.

（3）由（1）、（2）得，四边形的面积，

即.

,当且仅当时，等号成立.

，即.