Question

如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，以点 A 为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB，AC 于点M 和 N，再分别以 M，N 为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点 P，连接 AP 并延长交 BC 于点D，则下列说法中：①AD 是∠BAC 的平分线；②点 D 在线段 AB 的垂直平分线上；③S△DAC：S△ABC=1：2,正确的序号是_____．

Answer

①②

【解析】

①据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；

②利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的垂直平分线上；

③利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．

①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．
故①正确；
②如图，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2＝∠CAB＝30°，

∵∠1＝∠B＝30°，
∴AD＝BD，

∴△ABD为等腰三角形

∴点D在AB的垂直平分线上．
故②正确；
③∵如图，在直角△ACD中，∠2＝30°，
∴CD＝AD，
∴BC＝CD＋BD＝AD＋AD＝AD，

∴S△DAC＝AC•CD＝AC•AD，
∴S△ABC＝AC•BC＝AC•AD＝AC•AD，
∴S△DAC：S△ABC＝AC•AD：AC•AD＝1：3．
故③错误．
故答案为：①②．