Question

如图，AB=12cm，点C是线段AB上的一点，BC=2AC．动点P从点A出发，以3cm/s的速度向右运动，到达点B后立即返回，以3cm/s的速度向左运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度向右运动．设它们同时出发，运动时间为ts．当点P与点Q第二次重合时，P，Q两点停止运动．

（1）AC=         cm，BC=         cm；

（2）当t为何值时，AP=PQ；

（3）当t为何值时，P与Q第一次相遇；

（4）当t为何值时，PQ=1cm．

Answer

(1)4，8；(2) ；(3)2；（4）t为或或时，PQ=1cm．

【解析】

（1）根据AB=AC+BC=12cm，BC=2AC，即可求出AC=4cm，BC=8cm；

（2）用含t的代数式分别表示AP、PQ，根据AP=PQ列出方程，求解即可；

（3）当P与Q第一次相遇时，AP=AC+CQ，依此列出关于t的方程，求解即可；

（4）当PQ=1cm时，从点P的运动方向可分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当点P从点A出发向点B运动时，又分P追上Q前与P追上Q后两种情况；（Ⅱ）当点P到达点B后立即返回时，由于当点P与点Q第二次重合时，P，Q两点停止运动，所以只有点P与Q相遇前一种情况．

（1）∵AB=AC+BC=12cm，BC=2AC，

∴AC+2AC=12，

∴AC=4cm，BC=8cm．

（2）当AP=PQ时，AP=3t，PQ=AC+CQ-AP=4+t-3t，

即3t=4+t-3t，解得t=．

所以当t=时，AP=PQ；

（3）当P与Q第一次相遇时，AP=AC+CQ，

即3t=4+t，解得t=2．

所以当t=2时，P与Q第一次相遇；

（4）（Ⅰ）当点P从点A出发向点B运动时，

P追上Q前，由PQ=AC+CQ-AP=1，可得4+t-3t=1，解得t=；

P追上Q后，由PQ=AP-（AC+CQ）=1，可得3t-（4+t）=1，解得t=；

（Ⅱ）当点P到达点B后立即返回时，点P与Q相遇前．

∵AB+BP=3t，

∴BP=3t-12．

∵PQ=BC-BP-CQ=1，

∴8-（3t-12）-t=1，

解得t=．

综上所述，当t为或或时，PQ=1cm．