Question

如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AE是弦，OG⊥AE于点G，交⊙O 于点D，连结BD交AE于点F，延长AE至点C，连结BC．

(1)当BC=FC时，证明：BC是⊙O的切线；

(2)已知⊙O的半径，当tanA=，求GF的长．

Answer

（1）见解析；（2）1

【解析】

（1）由OD⊥AE可知∠D+∠GFD=90°，由等腰三角形的性质可得∠BFC=∠FBC，∠OBD=∠D，从而可证∠OBC=90°；

(2) 连接 BE，在Rt△AOG中，可求出OG= 3， AG=4，由垂径定理得GE= AG=4，然后通过证明△FGD∽△FEB，可求出GF的长.

(1)证明：∵OD⊥AE．

∴∠D+∠GFD=90°．

∵BC=FC，

∴∠BFC=∠FBC．

∵∠BFC=∠GFD，

∴∠GFD=∠FBC．

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠D．

∴∠OBD+∠CBF=∠D+∠GFD=90°．

即∠OBC=90°．

∴BC是的切线．

(2) 连接 BE，

∵⊙O半径，tanA=，

∴sinA=,cosA=．

∴在Rt△AOG中，OG=OA sinA=5×=3， AG=OA cosA=5×=4=GE．

∴GD=OD－OG=5－3=2．

∵OG⊥AE，

∴AG=GE．

∴OG是△ABE的中位线，

∴BE=2OG=6，BE∥OD．

∴∠D=∠FBE,∠BEF=∠FGD．

∴△FGD∽△FEB．

∴．

∴．

∴GF=1．