Question

我们定义：有一组邻角相等且对角线相等的凸四边形叫做“邻对等四边形”．

概念理解

(1)下列四边形中属于邻对等四边形的有                  （只填序号）；

①顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形；

②顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形；

③顺次连接矩形各边中点所得的四边形；

④顺次连接菱形各边中点所得的四边形；

性质探究

(2)如图1，在邻对等四边形ABCD中，∠ABC=∠DCB，AC=DB，AB＞CD，求证：∠BAC与∠CDB互补；

拓展应用

(3)如图2，在四边形ABCD中，∠BCD=2∠B，AC=BC=5，AB=6，CD=4．在BC的延长线上是否存在一点E，使得四边形ABED为邻对等四边形？如果存在，求出DE的长；如果不存在，说明理由．

Answer

（1）④；（2）见解析；（3）存在这样一点E，使得四边形ABED为邻对等四边形，DE＝

【解析】

（1）根据中点四边形的特征，结合邻对等四边形的定义求解即可；

（2）延长CD至E，使CE=BA，根据“SAS”可证△ABC≌△ECB，从而BE=CA，∠BAC=∠E．利用等量代换可证BD=BE，从而∠BDE=∠E，然后可证明结论成立；

（3）在BC延长线上取一点E，使得CE=4，连接DE，四边形ABED即为邻对等四边形．连接AE，BD，由等腰三角形的性质和三角形外角的性质可证∠ABC=∠DEB，∠ACE=∠BCD．通过证明CE≌△BCD，可证BD=AE，从而四边形ABED为邻对等四边形．通过证明△ABC∽△DEC，利用相似三角形的性质可求出DE的长.

（1）①顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，平行四边形不具备一组邻角相等且对角线相等，故不是邻对等四边形；

②顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，平行四边形不具备一组邻角相等且对角线相等，故不是邻对等四边形；

③顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形，菱形不具备一组邻角相等且对角线相等，故不是邻对等四边形；

④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，矩形具备一组邻角相等且对角线相等，故是邻对等四边形；

故答案为④；

（2）∵AB＞CD，故可延长CD至E，使CE=BA，

在△ABC与△ECB中，，

∴△ABC≌△ECB．

∴BE=CA，∠BAC=∠E．

∵AC=DB，

∴BD=BE．

∴∠BDE=∠E．

∴∠CDB+∠BDE=∠CDB+∠E=∠BAC+∠CDB=180°．

即∠BAC与∠CDB互补．

（3）存在这样一点E，使得四边形ABED为邻对等四边形，

如图2，在BC延长线上取一点E，使得CE=4，

连接DE，四边形ABED即为邻对等四边形．

理由如下：

连接AE，BD，

∵CE=CD，

∴∠CDE=∠CED．

∵∠BCD=2∠B，

∴∠ABC=∠DEB，∠ACE=∠BCD．

在△ACE与△BCD中，，

∴△ACE≌△BCD．

∴BD=AE，四边形ABED为邻对等四边形．

∵∠CBA=∠CAB=∠CDE=∠CED，

∴△ABC∽△DEC．

∴，

∴.