Question

如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A的直线l绕点A旋转，BD⊥l于D，CE⊥l于E.

(1)试说明：DE＝BD＋CE.

(2)当直线l绕点A旋转到如图②所示的位置时，(1)中结论是否成立？若成立，请说明；若不成立，请探究DE，BD，CE又有怎样的数量关系，并写出探究过程．

Answer

(1) 见解析； (2)(1)中结论不成立．DE＝BD－CE. 探究过程见解析.

【解析】

（1）由AAS证明△ABD≌△CAE，得到BD=AE，AD=CE，即可解决问题．（2）由AAS证明证明△ABD≌△CAE，得出BD=AE，AD=CE，即可得出结论．

(1)因为BD⊥l，CE⊥l，

所以∠ADB＝∠AEC＝90°.

所以∠DBA＋∠BAD＝90°.

又因为∠BAC＝90°，

所以∠BAD＋∠CAE＝90°.

所以∠DBA＝∠CAE.

因为AB＝AC，∠ADB＝∠CEA＝90°，

所以△ABD≌△CAE(AAS)．

所以AD＝CE，BD＝AE.

则AD＋AE＝BD＋CE，

即DE＝BD＋CE.

(2)(1)中结论不成立．

DE＝BD－CE.

同(1)说明△ABD≌△CAE，

所以BD＝AE，AD＝CE.

又因为AE－AD＝DE，

所以DE＝BD－CE.