Question

如图，AC是圆O的直径，AB、AD是圆O的弦，且AB＝AD，连接BC、DC.

(1)求证：△ABC≌△ADC；

(2)延长AB、DC交于点E，若EC＝5 cm，BC＝3 cm，求四边形ABCD的面积．

Answer

（1）见解析；（2）四边形ABCD的面积为18 cm2

【解析】

（1）根据直径所对的圆周角是直角进行证明.

（2）由（1）的结论得到DE、CD长度，再通过∠EAD＝∠ECB，∠D＝∠EBC＝90°，得到△EAD∽△ECB，再通过相似三角形成比例以及勾股定理得到BE、AD的长再进行四边形面积的求解即可.

(1)证明 ∵AC是圆O的直径，

∴∠ABC＝∠D＝90°，

在Rt△ABC与Rt△ADC中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△ADC；

(2)解 由(1)知Rt△ABC≌Rt△ADC，

∴CD＝BC＝3，AD＝AB，

∴DE＝5＋3＝8，

∵∠EAD＝∠ECB，∠D＝∠EBC＝90°，

∴△EAD∽△ECB，

∴＝，

∵BE＝＝4，

∴＝，

∴AD＝6，

∴四边形ABCD的面积＝S△ABC＋S△ACD＝2××3×6＝18 cm2