Question

如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB＝∠B，点E在边AC上，满足AE·CD＝AD·CE.

(1)求证：DE∥AB；

(2)如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，连接AF.求证：DF＝AF.

Answer

（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

(1)根据已知条件得到 ,根据等腰三角形的判定定理得到AD＝BD ,等量代换即可得到结论;
(2)由BD是DF和AB的比例中项,得到BD2＝DF·AB ,等量代换得到AD2＝DF·AB ,推出 ,根据相似三角形的性质得到 ,于是得到结论.

证明 (1)∵AE·CD＝AD·CE，

∴＝，

∵∠DAB＝∠B，

∴AD＝BD，

∴＝，

∴DE∥AB；

(2)∵BD是DF和AB的比例中项，

∴BD2＝DF·AB，

∵AD＝BD，

∴AD2＝DF·AB，

∴＝＝1，

∵DE∥AB，

∴∠ADF＝∠BAD，

∴△ADF∽△DBA，

∴＝，

∴DF＝AF.