Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，连接AD.

(1)请你写出图中所有的等腰三角形；

(2)若BC＝10，求AB＋AE的长．

Answer

(1)见解析；(2) AB＋AE＝10.

【解析】

(1)如图，根据△ABC是等腰直角三角形可知∠8=45°，由ED⊥BC可知∠7=∠8=45°，由此得到△DCE为等腰三角形；由角平分线的性质可知AE=DE，由此得到△AED为等腰三角形；同理可得△ABD为等腰三角形；
(2)由于△AED为等腰三角形，△ABD为等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可证明AB+AE=BD+CD=BC，然后就可以求出AB+AE的长．

(1)如图，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝∠C＝45°.

又∵ED⊥BC，

∴∠EDC＝90°，

∴∠7＝∠C＝45°，

∴DE＝DC，

故△DCE为等腰直角三角形．

∵BE是△ABC的角平分线，∠BAC＝∠BDE＝90°，

∴AE＝DE，

∴△ADE为等腰三角形．

∵BE是△ABC的角平分线，

∴∠1＝∠2.

又∵∠BAE＝∠BDE＝90°，BE＝BE，

∴△ABE≌△DBE，

∴AB＝DB，

∴△ABD为等腰三角形．

故图中所有的等腰三角形为△ABC，△DCE，△ADE，△ABD，共4个．

(2)由(1)可知△ADE为等腰三角形，△ABD为等腰三角形，△DCE为等腰三角形，故AB＝DB，AE＝DE＝DC，∴AB＋AE＝DB＋DC＝BC＝10.