Question

如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是AB边的中点，CH⊥AB于点H，CD平分∠ACB.

(1)求证：∠1＝∠2；

(2)过点M作AB的垂线交CD的延长线于点E，连接AE，BE.求证：CM＝EM.

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

试题

（1）由CD平分∠ACB可得∠ACD=∠BCD，我们只需证∠ACM=∠BCH就可得∠1=∠2；而由CM是Rt△ABC斜边上的中线易得AM=CM，由此可得∠ACM=∠A，而由已知易证∠A=∠BCH，从而可得∠ACM=∠BCH；

（2）由CH⊥AB，ME⊥AB可得ME∥CH，由此可得∠E=∠1=∠2，就可得CM=ME.

试题解析：

(1)∵∠ACB＝90°，

∴∠A＋∠B＝90°.

∵CH⊥AB，

∴∠B＋∠BCH＝90°，

∴∠A＝∠BCH.

∵M是斜边AB的中点，

∴CM＝AM，

∴∠A＝∠ACM.

∴∠BCH＝∠ACM.

∵CD平分∠ACB，

∴∠BCD＝∠ACD，

∴∠BCD－∠BCH＝∠ACD－∠ACM，

即∠1＝∠2.

(2)∵CH⊥AB，ME⊥AB，

∴ME∥CH，

∴∠1＝∠E.

∵∠1＝∠2，

∴∠2＝∠MED，

∴CM＝EM.