Question

在同一平面内的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．

如图，等腰直角三角形ABC的一条直角边AB垂直数轴于点D，斜边AC与数轴交于点E，数轴上点O表示的有理数是0，若AB＝BC＝8，AD＝6，OD＝2．点O到边BC的距离与线段DB的长相等．

（1）求d（点O，点E）；

（2）求d（点O，△ABC）．

Answer

（1）4；（2）2.

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质和线段的和差关系求得OE＝4．再根据“闭距离”的定义可得d（点O，点E）＝4．

（2）过点O作OF⊥AC于点F，可得OF＝FE，设OF＝FE＝x，在Rt△OEF中，可求点O到边AC距离OF是2，进一步得到对于△ABC三边上任意一点Q，O，Q两点间的距离的最小值为2．再根据“闭距离”的定义可得d（点O，△ABC）＝2．

【解析】
（1）∵等腰直角三角形ABC，AB＝BC＝8，

∴∠C＝∠A＝45°

∠ABC＝90°．

∵AB垂直数轴于点D，

∴∠ADE＝∠ABC＝90°．

∴BC∥DE

∴∠AED＝∠C＝∠A＝45°．

∴AD＝DE．

∵AD＝6，

∴DE＝AD＝6，

∵OD＝2，

∴OE＝4．

∴d（点O，点E）＝4．

（2）过点O作OF⊥AC于点F，

∵∠AED＝45°，OE＝4，

∴∠AED＝∠FOE＝45°

∴OF＝FE，

设OF＝FE＝x，

在Rt△OEF中，x2+x2＝16x2＝8，（负值舍去），

，

∴点O到边AC距离OF是，

∵AB＝8，AD＝6，

∴DB＝AB﹣AD＝2．

∵点O到边BC的距离与线段DB的长相等．

∴点O到边BC距离是2，

∵点O到边AB距离OD是2，

∴对于△ABC三边上任意一点Q，O，Q两点间的距离的最小值为2．

∴d（点O，△ABC）＝2．