Question

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2，CD是边AB的高线，动点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC运动；同时，动点F从点C出发，以相同的速度沿射线CB运动．设E的运动时间为t（s）（t＞0）．

（1）AE＝　   　（用含t的代数式表示），∠BCD的大小是　   　度；

（2）点E在边AC上运动时，求证：△ADE≌△CDF；

（3）点E在边AC上运动时，求∠EDF的度数；

（4）连结BE，当CE＝AD时，直接写出t的值和此时BE对应的值．

Answer

（1）t，45；（2）详见解析；（3）90°；（4）t的值为﹣1或+1，BE=．

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题；

（2）根据SAS即可证明△ADE≌△CDF；

（3）由△ADE≌△CDF，即可推出∠ADE=∠CDF，推出∠EDF=∠ADC=90°；

（4）分两种情形分别求解即可解决问题．

（1）由题意：AE=t．

∵CA=CB，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BCD=∠ACD=45°．

故答案为：t，45．

（2）∵∠ACB=90°，CA=CB，CD⊥AB，∴CD=AD=BD，∴∠A=∠DCB=45°．

∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）．

（3）∵点E在边AC上运动时，△ADE≌△CDF，∴∠ADE=∠CDF，∴∠EDF=∠ADC=90°．

（4）①当点E在AC边上时，如图1．在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，AC=CB，AB=2，CD⊥AB，∴CD=AD=DB=1，AC=BC．

∵CE=CD=1，∴AE=AC﹣CE1，∴t1．

∵BC=，∴BE===；

②当点E在AC的延长线上时，如图2，AE=AC+EC1，∴t1．

∵BC=，∴BE===；

综上所述：满足条件的t的值为1或1，BE=．