Question

如图，直线EF、CD相交于点O，OA⊥OB，OC平分∠AOF.

(1)若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；

(2)若∠AOE=30°，请直接写出∠BOD的度数；

(3)观察(1)(2)的结果，猜想∠AOE和∠BOD的数量关系，并说明理由.

Answer

（1）20°（2）15°（3）∠BOD=∠AOE，理由见解析。

【解析】

（1）先求出∠AOF，根据角平分线定义求出∠FOC，根据对顶角相等求出∠EOD=∠FOC，求出∠BOE，即可得出答案；
（2）先求出∠AOF，根据角平分线定义求出∠FOC，根据对顶角相等求出∠EOD=∠FOC，求出∠BOE，即可得出答案；

(3)先求出∠AOF，根据角平分线定义求出∠FOC，根据对顶角相等求出∠EOD=∠FOC，求出∠BOE，即可得出答案．

【解析】
（1）∵∠AOE+∠AOF=180°，∠AOE=40°，
∴∠AOF=140°；
又∵OC平分∠AOF，
∴∠FOC=∠AOF=70°，
∴∠EOD=∠FOC=70°；
∵OA⊥OB, ∴∠AOB=90°

∵∠BOE=∠AOB-∠AOE=50°，
∴∠BOD=∠EOD-∠BOE=20°；

（2）∵∠AOE+∠AOF=180°，∠AOE=30°，
∴∠AOF=150°；
又∵OC平分∠AOF，
∴∠FOC=∠AOF=75°，
∴∠EOD=∠FOC=75°；
∵∠BOE=∠AOB-∠AOE=60°，
∴∠BOD=∠EOD-∠BOE=15°；

(3)从（1）（2）的结果中能看出∠BOD=∠AOE，理由如下：

∵∠AOE+∠AOF=180°，
∴∠AOF=180°-∠AOE；
又∵OC平分∠AOF，
∴∠FOC=∠AOF=90°-∠AOE，
∴∠EOD=∠FOC=90°-∠AOE；
∵OA⊥OB, ∴∠AOB=90°

∵∠BOE=∠AOB-∠AOE=90°-∠AOE，
∴∠BOD=∠EOD-∠BOE=(90°-∠AOE)-(90°-∠AOE)=∠AOE；

∴∠BOD=∠AOE；