Question

如图，AB是⊙O的直径，BC为弦，D为弧AC的中点，AC、BD相交于点E．AP交BD的延长线于点P．∠PAC＝2∠CBD．

（1）求证：AP是⊙O的切线；

（2）若PD＝3，AE＝5，求△APE的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据切线的判定与性质、圆周角定理证明即可；

（2）根据等腰三角形的判定和性质解答即可．

（1）∵D为弧AC中点，

∴∠CBA＝2∠CBD，

∵AB为直径，

∴∠CAB＋∠CBA＝90°，

∴∠CAB＋2∠CBD＝90°，

即∠PAC＋∠CAB＝90°，

∴PA⊥AB

∴AB为圆O切线；

（2）由（1）易得△PAE为等腰三角形PD＝3，PE＝6，AE＝5，

∴AD＝4，

∴S△APE＝AD•PE＝12