Question

如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交直线BD于点M．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）点P在线段AB上运动的过程中，是否存在点Q，使得△BOD∽△QBM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）已知点F（0，），点P在x轴上运动，试求当m为何值时以D、M、Q、F为顶点的四边形是平行四边形．

Answer

（1）y＝﹣x2+x+2；（2）存在，点Q的坐标为（3，2）；（3）m＝﹣1或m＝3或m＝1+或1﹣时，四边形DMQF是平行四边形．

【解析】

（1）根据待定系数法求解可得；

（2）利用△BOD∽△QBM得，再证△MBQ∽△BPQ得，解之即可得此时m的值．

（3）先利用待定系数法求出直线BD解析式为y=x-2，则Q（m，-m2+m+2）、M（m，m-2），由QM∥DF且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF，据此列出关于m的方程，解之可得．

（1）由抛物线过点A（﹣1，0）、B（4，0）可设解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），

将点C（0，2）代入，得：﹣4a＝2，

解得：a＝﹣，

则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2；

（2）如图所示：

∵当△BOD∽△QBM时，

则，

∵∠MBQ＝90°，

∴∠MBP+∠PBQ＝90°，

∵∠MPB＝∠BPQ＝90°，

∴∠MBP+∠BMP＝90°，

∴∠BMP＝∠PBQ，

∴△MBQ∽△BPQ，

∴，

∴，

解得：m1＝3、m2＝4，

当m＝4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，

∴m＝3，点Q的坐标为（3，2）；

（3）由题意知点D坐标为（0，﹣2），

设直线BD解析式为y＝kx+b，

将B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：，

解得：，

∴直线BD解析式为y＝x﹣2，

∵QM⊥x轴，P（m，0），

∴Q（m，﹣m2+m+2）、M（m，m﹣2），

则QM＝﹣m2+m+2﹣（m﹣2）＝﹣m2+m+4，

∵F（0，）、D（0，﹣2），

∴DF＝，

∵QM∥DF，

∴当|﹣m2+m+4|＝时，四边形DMQF是平行四边形，

解得：m＝﹣1或m＝3或m＝1+或1﹣

即m＝﹣1或m＝3或m＝1+或1﹣时，四边形DMQF是平行四边形．