Question

Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为______．

Answer

【解析】

根据矩形的性质就可以得出，EF，AP互相平分，且EF=AP，根据垂线段最短的性质可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根据面积关系建立等式求出其解即可．

∵四边形AEPF是矩形，

∴EF，AP互相平分．且EF=AP，

∴EF，AP的交点就是M点．

∵当AP的值最小时，AM的值就最小，

∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．

∵AP．BC=AB．AC，

∴AP．BC=AB．AC．

∵AB=3，AC=4，∠BAC=90°，

∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC==5，

∴5AP=3×4

∴AP=.

∴AM=.

故答案为：