Question

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．

（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；

（2）若AB＝6，求平行四边形BCFD的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）9．

【解析】

(1)在Rt△ABC 中，E为AB的中点，则CEAB，BEAB，得到∠BCE＝∠EBC＝60°．由△AEF≌△BEC，得∠AFE＝∠BCE＝60°，又∠D＝60°，得∠AFE＝∠D＝60°，所以FC∥BD，又因为∠BAD＝∠ABC＝60°，所以AD∥BC，即FD∥BC，由此即可得四边形BCFD是平行四边形；

(2)在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题.

(1)在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，

∴∠ABC＝60°，

在等边△ABD中，∠BAD＝60°，∴∠BAD＝∠ABC＝60°，

∵E为AB的中点，∴AE＝BE，

又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC，

在△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB的中点，

∴CEAB，BEAB，

∴CE＝AE，

∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BCE＝∠EBC＝60°，

又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE＝∠BCE＝60°，

又∵∠D＝60°，∴∠AFE＝∠D＝60°，∴FC∥BD，

又∵∠BAD＝∠ABC＝60°，∴AD∥BC，即FD∥BC，

∴四边形BCFD是平行四边形；

(2)在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，AB＝6，

∴BCAB＝3，AC==3，

∴S平行四边形BCFD＝3．