Question

如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A₁B₁C₁O的一个顶点，OA₁交AB于点E，OC₁交BC于点F．

(1)求证：△AOE≌△BOF；

(2)如果两个正方形的边长都为a，那么正方形A₁B₁C₁O绕O点转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？

Answer

(1)证明见解析；(2)S四边形OEBF=a2.

【解析】

(1)由题意得OA=OB，∠OAB=∠OBC=45°，又因为∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90°可得∠AOE=∠BOF，根据ASA证明△AOE≌△BOF全等即可；(2)由(1)得△AOE≌△BOF，进而可知S四边形OEBF=S△EOB+S△OBF=S△EOB+S△AOE=S△AOB=S正方形ABCD=a2

(1)证明：在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=45°，

∵∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90°，

∴∠AOE=∠BOF．

在△AOE和△BOF中，∠OAE=∠OBF=45°，OA=OB，∠AOE=∠BOF，

∴△AOE≌△BOF；

(2)两个正方形重叠部分面积等于a2，

∵△AOE≌△BOF，

∴S四边形OEBF=S△EOB+S△OBF=S△EOB+S△AOE=S△AOB=S正方形ABCD=a2．