Question

在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形．AE的中点是M．

(1)如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM=MH，FM⊥MH；

(2)将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH是等腰直角三角形；

(3)将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？(不必说明理由)

Answer

(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)△FMH还是等腰直角三角形．

【解析】

(1)根据正方形的性质可得FB=BM=MD=DH，然后利用“边角边”证明△FBM和△MDH全等，根据全等三角形对应边相等可得FM=MH，再求出∠FMH=90°，得到FM⊥HM，然后根据等腰直角三角形的定义证明即可；(2)连接MB、MD，设FM与AC交于点P，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MD∥BC，且MD=BC=BF；MB∥CD，且MB=CD=DH，然后得到四边形BCDM是平行四边形并求出∠CBM=∠CDM，再求出∠FBM=∠MDH，然后利用“边角边”证明△FBM和△MDH全等，根据全等三角形对应边相等可得FM=MH，全等三角形对应角相等可得∠MFB=∠HMD，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM=∠FMD，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠FMH=∠FBP=90°，再根据等腰直角三角形的定义证明即可；(3)证明方法同(2)．

(1)证明：∵四边形BCGF为正方形，

∴BF=BM=MN，∠FBM=90°，

∵四边形CDHN为正方形，

∴DM=DH=MN，∠HDM=90°，

∵BF=BM=MN，DM=DH=MN，

∴BF=BM=DM=DH，

∵BF=DH，∠FBM=∠HDM，BM=DM，

∴△FBM≌△HDM，

∴FM=MH，

∵∠FMB=∠DMH= 45°，

∴∠FMH=90°，

∴FM⊥HM．

(2)证明：连接MB、MD，如图2，设FM与AC交于点P．

∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，

∴MD∥BC，且MD=AC=BC=BF；MB∥CD，且MB=CE=CD=DH，

∴四边形BCDM是平行四边形，

∴∠CBM=∠CDM，

∵∠FBP=∠HDC，

∴∠FBM=∠MDH，

∵MD =BF，∠FBM=∠MDH，MB=DH，

∴△FBM≌△MDH（SAS），

∴FM=MH，且∠MFB=∠HMD，

∵BC∥MD，

∴∠APM=∠FMD，

∴∠FMH=∠FMD-∠HMD=∠APM-∠MFB=∠FBP=90°，

∴△FMH是等腰直角三角形；

(3)△FMH还是等腰直角三角形．

连接MB、MD，如图3，设FM与AC交于点P．

∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，

∴MD∥BC，且MD=BC=BF；MB∥CD，且MB=CD=DH，

∴四边形BCDM是平行四边形，

∴∠CBM=∠CDM，

又∵∠FBP=∠HDC，

∴∠FBM=∠MDH，

在△FBM和△MDH中，，

∴△FBM≌△MDH（SAS），

∴FM=MH，且∠MFB=∠HMD，

∵BC∥MD，

∴∠APM=∠FMD，

∴∠FMH=∠FMD-∠HMD=∠APM-∠MFB=∠FBP=90°，

∴△FMH是等腰直角三角形．